Вопросы к экзамену по курсу проф. Н. Н. Петрова
"ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ"
Линейные пространства.
Выпуклые множества и функция Минковского.
Оболочки.
Линейные топологические пространства.
Теорема о внутренности выпуклого множества.
Линейные функционалы и гиперплоскости.
Теорема о биекции (линейный случай).
Теорема о биекции (линейный топологический случай).
Первая теорема отделимости.
Теорема о продолжении линейного функционала.
Отделимость в локально выпуклых пространствах.
Теорема о продолжении линейного положительного функционала.
Опорные аффинные подпространства.
Теорема Крейна-Мильмана.
Двойственность и слабая топология.
Теорема двойственности (об изоморфизме).
Свойства поляры (без теоремы о биполяре).
Теорема о биполяре и следствие из неё.
Свойства поляр конусов (без теоремы о замкнутости суммы).
Теорема о замкнутости суммы конусов.
Теорема о конусе с компактным основанием.
Теорема о замкнутости суммы конечного числа лучей.
Теорема Вейля-Минковского.
Постановка абстрактной задачи линейного програмирования.
Теорема о непустоте множества допустимых планов.
Теорема о геометрической интерпретации множества допустимых планов в двойственной задаче.
Теорема двойственности в задаче линейного программирования.
Теорема существования оптимального плана.
Критерий оптимальности в задаче линейного программирования.
Транспортная задача и задача о диете.
Задача о перемещении массы.
Линейная задача оптимального управления.
Матричные игры.
Теорема фон Неймана.
Теорема о базисных планах.
Критерий базисности.
Нахождение начального базисного плана.
Алгоритм симплекс-метода.
Обоснование алгоритма симплекс-метода.
Свойства выпуклых функций.
Теорема о непрерывности выпуклой функции.
Критерий выпуклости гладкой функции в конечномерном пространстве.
Теорема о производной выпуклой функции по направлению.
Теорема о структуре выпуклой функции.
Субдифференциал выпуклой функции.
Теорема о структуре субдифференциала.
Теорема Моро-Рокафеллара.
Теорема о глобальном минимуме в выпуклом программировании.
Теорема о поляре конуса убывания функции.
Критерий минимума в задаче выпуклого программирования.
Теорема Куна-Таккера.
Вариационное исчисление и гамильтоновы системы.
Кусочно гладкие экстремали.
Условие Лежандра.
Теорема о положительной определённости квадратичного функционала (необходимость).
Теорема о положительной определённости квадратичного функционала (достаточность).
Необходимое условие Якоби.
Достаточное условие локального минимума в простейшей вариационной задаче.
ЛИТЕРАТУРА
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1972.-543с.
Алексеев В.М. ,Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.-М.: Наука,1980.-423с.
Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.-400с.
Вершик А.М. Методические указания к курсу "Экстремальные задачи", ч. 1. -Л.: Из-во СПбГУ,1985.-32с.
Вершик А.М. Методические указания к курсу "Экстремальные задачи", ч. 2. -Л.: Из-во СПбГУ, 1985.-24с.
Тер-Крикоров А.М. Оптимальное управление и математическая экономика. -М.: Наука, 1977.-216с.
Ашманов С.А. Линейное программирование.-М.: Наука, 1981. -302с.
Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ.-М.: Мир, 1973. -472с.
Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление.-М.: Из-во МГУ, 1985.-95с.
Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления.-М.: Мир, 1974.-488с.
Буслаев В.С. Вариационное исчисление. -Л.: Из-во ЛГУ, 1980. -287с.
Беленький В.З., Волконский В.А. и др. Итеративные методы в теории игр.-М.: Наука, 1974.-239с.