Вопросы к экзамену по курсу проф. Н. Н. Петрова

"ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ"

  1. Линейные пространства.
  2. Выпуклые множества и функция Минковского.
  3. Оболочки.
  4. Линейные топологические пространства.
  5. Теорема о внутренности выпуклого множества.
  6. Линейные функционалы и гиперплоскости.
  7. Теорема о биекции (линейный случай).
  8. Теорема о биекции (линейный топологический случай).
  9. Первая теорема отделимости.
  10. Теорема о продолжении линейного функционала.
  11. Отделимость в локально выпуклых пространствах.
  12. Теорема о продолжении линейного положительного функционала.
  13. Опорные аффинные подпространства.
  14. Теорема Крейна-Мильмана.
  15. Двойственность и слабая топология.
  16. Теорема двойственности (об изоморфизме).
  17. Свойства поляры (без теоремы о биполяре).
  18. Теорема о биполяре и следствие из неё.
  19. Свойства поляр конусов (без теоремы о замкнутости суммы).
  20. Теорема о замкнутости суммы конусов.
  21. Теорема о конусе с компактным основанием.
  22. Теорема о замкнутости суммы конечного числа лучей.
  23. Теорема Вейля-Минковского.
  24. Постановка абстрактной задачи линейного програмирования.
  25. Теорема о непустоте множества допустимых планов.
  26. Теорема о геометрической интерпретации множества допустимых планов в двойственной задаче.
  27. Теорема двойственности в задаче линейного программирования.
  28. Теорема существования оптимального плана.
  29. Критерий оптимальности в задаче линейного программирования.
  30. Транспортная задача и задача о диете.
  31. Задача о перемещении массы.
  32. Линейная задача оптимального управления.
  33. Матричные игры.
  34. Теорема фон Неймана.
  35. Теорема о базисных планах.
  36. Критерий базисности.
  37. Нахождение начального базисного плана.
  38. Алгоритм симплекс-метода.
  39. Обоснование алгоритма симплекс-метода.
  40. Свойства выпуклых функций.
  41. Теорема о непрерывности выпуклой функции.
  42. Критерий выпуклости гладкой функции в конечномерном пространстве.
  43. Теорема о производной выпуклой функции по направлению.
  44. Теорема о структуре выпуклой функции.
  45. Субдифференциал выпуклой функции.
  46. Теорема о структуре субдифференциала.
  47. Теорема Моро-Рокафеллара.
  48. Теорема о глобальном минимуме в выпуклом программировании.
  49. Теорема о поляре конуса убывания функции.
  50. Критерий минимума в задаче выпуклого программирования.
  51. Теорема Куна-Таккера.
  52. Вариационное исчисление и гамильтоновы системы.
  53. Кусочно гладкие экстремали.
  54. Условие Лежандра.
  55. Теорема о положительной определённости квадратичного функционала (необходимость).
  56. Теорема о положительной определённости квадратичного функционала (достаточность).
  57. Необходимое условие Якоби.
  58. Достаточное условие локального минимума в простейшей вариационной задаче.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1972.-543с.
  2. Алексеев В.М. ,Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.-М.: Наука,1980.-423с.
  3. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.-400с.
  4. Вершик А.М. Методические указания к курсу "Экстремальные задачи", ч. 1. -Л.: Из-во СПбГУ,1985.-32с.
  5. Вершик А.М. Методические указания к курсу "Экстремальные задачи", ч. 2. -Л.: Из-во СПбГУ, 1985.-24с.
  6. Тер-Крикоров А.М. Оптимальное управление и математическая экономика. -М.: Наука, 1977.-216с.
  7. Ашманов С.А. Линейное программирование.-М.: Наука, 1981. -302с.
  8. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ.-М.: Мир, 1973. -472с.
  9. Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление.-М.: Из-во МГУ, 1985.-95с.
  10. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления.-М.: Мир, 1974.-488с.
  11. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. -Л.: Из-во ЛГУ, 1980. -287с.
  12. Беленький В.З., Волконский В.А. и др. Итеративные методы в теории игр.-М.: Наука, 1974.-239с.