1. Три базовые леммы.
2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Формула обращения.
3. Ортогональность экспоненциального базиса. Разложение единичного периодического импульса по экспоненциальному базису.
4. Обобщенное равенство Парсеваля.
5. Два примера на вычисление ДПФ.
6. Теорема об отсчетах.
7. Циклическая свертка. Теорема о свертке.
8. Коммутативность и ассоциативность циклической свертки.
9. Теорема об общей форме линейного стационарного преобразования сигналов.
10. Собственные функции и собственные значения линейного стационарного преобразования сигналов.
11. Циклическая корреляция. Теорема о корреляции.
12. Теорема об ортонормированном базисе, состоящем из сдвигов некоторого сигнала.
13. Постановка задачи об оптимальной интерполяции. Ее переформулировка в спектральной области.
14. Решение задачи об оптимальной интерполяции.
15. Перестановка reverse и ее свойства.
16. Первая рекуррентная последовательность базисов. Явное представлении базисных сигналов.
17. Ортогональность промежуточных базисов.
18. Быстрое преобразование Фурье. Количество арифметических операций. Быстрое восстановление сигнала по его ДПФ.
19. Вейвлетные базисы. Базис Хаара, его ортогональность.
20. Явное представление сигналов, входящих в базис Хаара.
21. Быстрое преобразование Хаара. Количество арифметических операций. Быстрое восстановление сигнала по его дискретному преобразованию Хаара.
22. Матрицы Адамара, их свойства.
23. Вторая рекуррентная последовательность базисов. Явное представлении базисных сигналов.
24. Ортогональность промежуточных базисов.
25. Быстрое преобразование Уолша. Количество арифметических операций. Быстрое восстановление сигнала по его дискретному преобразованию Уолша.
26. Упорядочение дискретных функций Уолша по частоте.
27. Дискретные периодические функции Бернулли, их свойства.
28. Разложение сигнала по сдвигам функции Бернулли.
29. Дискретный периодический В-сплайн, его разложение по экспоненциальному базису.
30. Вычисление значений В-сплайна в узлах специальной сетки.
31. Представление В-сплайна через сдвиги функции Бернулли.
32. Определение пространства дискретных периодических сплайнов, его размерность.
33. Лемма о принадлежности константы пространству сплайнов.
34. Эквивалентное определение сплайна в терминах разложения по сдвигам функции Бернулли.
35. Ключевое соотношение для дискретных периодических сплайнов.
36. Однозначная разрешимость задачи дискретной сплайн-интерполяции.
37. Явная формула для коэффициентов интерполяционного сплайна.
38. Экстремальное свойство интерполяционного сплайна.
39. Вычисление значений дискретного периодического сплайна на основном периоде.
40. Построение ортогонального базиса в пространстве сплайнов.
41. Свойства ортогональных сплайнов.
42. Теорема о базисе в пространстве сплайнов, состоящем из сдвигов некоторого сплайна.
43. Теорема о двойственных сплайнах. Определение самодвойственного сплайна.
44. Решение дискретной задачи о наименьших квадратах с помощью В-сплайна и двойственного к нему сплайна.
45. Представление решения задачи о наименьших квадратах в виде линейной комбинации сдвигов В-сплайна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Макклеллан Дж. Х., Рейдер Ч. М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Радио и связь, 1983.
2. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.
3. Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.
4. Бер М. Г., Малоземов В. Н. Об интерполяции дискретных периодических данных // Проблемы передачи информации. 1992. Т. 28. №4. С. 60–68.
5. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Новый подход к алгоритму Кули–Тьюки // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1997. Вып. 3 (№15). С. 57–60.
6. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Алгоритм Кули–Тьюки и дискретное преобразование Хаара // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 3 (№15). С. 31–34.
7. Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. 1 (№1). С. 16–21.
8. Малоземов В. Н., Певный А. Б. Дискретные периодические B-сплайны // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 14–19.
9. Малоземов В. Н., Певный А. Б. Дискретные периодические сплайны и их вычислительные применения // Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 1998. Т. 38. №8. С. 1235–1246.
10. Кирушев В. А., Малоземов В. Н., Певный А. Б. Вейвлетное разложение пространства дискретных периодических сплайнов // Матем. заметки. 2000. Т. 67. Вып. 5. С. 712–720.
11. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина–Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. Вып. 1. С. 111–157.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Вычеты.
2. Китайский код.
3. Метод простых множителей для вычисления ДПФ.
4. Вычисление ДПФ при малых N.
5. Сигналы.
6. Простейшие преобразования сигналов.
7. Аналитическое представление ДПФ некоторых сигналов.
8. Циркулянтные матрицы.
9. Дискретные периодические сплайны.
10. Разные задачи.