Вопросы к экзамену

по курсу проф. В. Н. Малоземова

“ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА”

(1994)

 

ЧАСТЬ 1. Интерполяция
  1. Схема Горнера вычисления значения алгебраического полинома в точке. Обобщенная схема Горнера.
  2. Теорема о базисах в пространстве алгебраических полиномов фиксированной степени.
  3. Понятие обусловленности алгебраического полинома.
  4. Полиномы Чебышева первого и второго рода, их тригонометрическое представление.
  5. Схема Кленшоу. Вариант Бахвалова.
  6. Вычисление производной от линейной комбинации полиномов Чебышева первого рода.
  7. Базис Лагранжа.
  8. Интерполяционный полином Лагранжа. Частные случаи.
  9. Интерполяционный полином Ньютона.
  10. Схема Эйткена вычисления значения интерполяционного полинома.
  11. Определение и свойства разделенных разностей.
  12. Представление погрешности интерполяции через разделенную разность.
  13. Представление погрешности интерполяции через (n+1)-ю производную.
  14. Оптимальные узлы интерполяции на классе функций с ограниченной (n+1)-й производной.
  15. Оценка погрешности интерполяции через константу Лебега и величину наилучшего приближения.
  16. Определение и свойства конечных разностей.
  17. Интерполяционная формула Ньютона для начала таблицы.
  18. Интерполяционная формула Ньютона для конца таблицы.
  19. Интерполяционные формулы Гаусса.
  20. Интерполяционная формула Стирлинга.
  21. Численное дифференцирование. Оценка погрешности.
  22. Конкретные формулы численного дифференцирования.
  23. Задача кратной интерполяции. Формула Эрмита.
  24. Представление фундаментальных полиномов кратной интерполяции.
  25. Простейший случай кратной интерполяции.
  26. Определение и характеристическое свойство чебышевской системы функций. Разрешимость общей интерполяционной задачи.
  27. Чебышевская интерполяция.
  28. Задача наилучшего равномерного приближения на базисе.
  29. Условие оптимальности интерполяционного по Чебышеву полинома в общей дискретной задаче.
  30. V-преобразование базисов и его основные свойства.
  31. Теорема Чебышева о наилучшем приближении в дискретном случае.
  32. Метод последовательных чебышевских интерполяций.

 

ЧАСТЬ 2. Квадратурные формулы
  1. Определение квадратурной формулы. Интерполяционные квадратуры.
  2. Погрешность интерполяционной квадратурной формулы.
  3. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона — простые и составные.
  4. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности.
  5. Существование и единственность ортогонального полинома с фиксированным старшим коэффициентом.
  6. Свойства нулей ортогональных полиномов.
  7. Рекуррентное соотношение для ортогональных полиномов.
  8. Полиномы Лежандра.
  9. Полиномы Эрмита, Лагерра и Якоби.
  10. Вычисление интегралов с особенностями.
  11. Вычисление интегралов от периодических функций.
  12. Квадратурная формула Мелера.

 

ЧАСТЬ 3. Полиномиальные сплайны
  1. Определение полиномиального сплайна. Линейная независимость базисных функций.
  2. Определение нулей и нуль-интервалов сплайна и их кратности.
  3. Оценка числа нулей и нуль-интервалов сплайна.
  4. Критерий однозначной разрешимости задачи кратной сплайн-интерполяции.
  5. Постановка и однозначная разрешимость задач кубической и параболической сплайн-интерполяции.
  6. Определение B-сплайна и его представления.
  7. Свойства B-сплайна.
  8. B-сплайновый базис в пространстве сплайнов.
  9. Рекуррентное соотношение для нормализованных B-сплайнов.
  10. Вычисление значения линейной комбинации нормализованных B-сплайнов в точке.
  11. Определение натурального сплайна. Скалярная форма дополнительных условий.
  12. Ключевое соотношение для натуральных сплайнов.
  13. Однозначная разрешимость интерполяционной задачи на натуральных сплайнах.
  14. Свойство минимальной нормы.
  15. Постановка задачи сглаживания дискретных данных. Критическое значение параметра точности.
  16. Существование и единственность сглаживающего сплайна.
  17. Теорема об оптимальном параметре сглаживания.
  18. Преобразованная матричная форма уравнений для сглаживающего сплайна (с множителем Лагранжа в качестве параметра регуляризации).
  19. Свойства матрицы уравнений сглаживания.
  20. Однозначная разрешимость уравнения для оптимального параметра сглаживания.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

  1. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений. Изд. 2-е. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998.
  2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численые методы. М.: Наука, 1987.
  3. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
  4. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 2-е. М.: Наука, 1979.
  5. Малоземов В. Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.
  6. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
  7. Игнатов М. И., Малоземов В. Н., Певный А. Б. О сглаживании // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1989. Вып. 2 (№8). С. 7–11.